試験時間：2時間
1. 以下の問いに答えよ．
(1) 日本からグアムへの一年間の旅行者数を推定せよ．(解答欄：A4 - 1枚)
(2) 飛行機に対する次の2つの保険契約のうち，保険会社にとって良いのはどちらか．理由とともに答えよ．各保険契約は，飛行機が故障したときに，その飛行機の価格を全額保証する契約である．保険料とは保証の対価として保険会社が受け取る料金のことである．どちらの保険契約においても，１年間での飛行機１台の故障確率は0.1とする．(解答欄：A4 - 1枚)
\begin{array}{lc|c}
&保険契約の内容&保険料\\\hline
A&{1000万円の小型機を100台保証する．}&{2億円(100台分)}\\\hline
B&{100億円の大型機を1台保証する．}&25億円
\end{array}
2. 以下の問いに答えよ．(解答のみ記入)
(1) 次の関数をを微分せよ．
(a)
\begin{align*}
y=\sqrt{\frac{1-\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt[3]{x}}}
\end{align*}
(b)
\begin{align*}
y=\left(\sin^{-1}(2x)\right)^3
\end{align*}
(2) 次の行列の固有値，固有ベクトルを求めよ．\begin{align*}
\left(
\begin{array}{ccc}
2&0&1\\
0&2&1\\
2&2&1
\end{array}\right)
\end{align*}
(3) 次の積分を計算せよ．
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-x^2}dx
\end{align*}
(4) 次の微分方程式を解け．
\begin{align*}
x\frac{dy}{dx}+y=x\log x
\end{align*}
3. スポットレートが下表のようになっているとき，以下の問いに答えよ．(解答のみ記入)
\begin{array}{c|cccc}
債券&1年&2年&3年&4年\\\hline
スポットレート&1.5\%&2.0\%&2.5\%&3.0\%
\end{array}
(1) 4年債元本100円の債券の価格はいくらか．
(2) 2年から3年のフォワードレートはいくらか．
(3) 期末まで120日の時点で100円/1ドルである．また満期利回りは日本円が3\%，米ドルが6\% となっている．このとき期末時点のドル円先物の価格はいくらか．1年を360日としてよい．
4. 以下の問いに答えよ．
(1) $n$ 回 $m$ 個のサイコロを振る．少なくとも1回$m$個全てで1の目がでる確率を求めよ．(解答のみ記入)
(2) 赤球が1つ白玉が2つ入った箱がある．毎回箱から玉を1つ取り出し色を確認し箱に戻す．3回赤球を引いたら操作を終了する．このとき操作終了までにちょうど2回白玉を引く確率を求めよ．(解答のみ記入)
(3) 確率変数$X,Y\sim U(0,1)$とするとき，$Z=-\log (XY)$の従う確率密度関数を求めよ．(解答のみ記入)
(4) 円周上に任意に3点$A,B,C$をとるとき，$\triangle ABC$ が鈍角三角形となる確率を求めよ．(解答欄：A4 1/6枚)
